CONSTRUCCIÓN DE LA RECTA DE EULER DE UN TRIÁNGULO ESCALENO

La recta de Euler es aquella que se halla al unir el ORTOCENTRO, el BARICENTRO y el CIRCUNCENTRO de un triángulo cualquiera.

A continuación vamos a hallar paso por paso la Recta de Euler del un triángulo escaleno ABC. Además iremos repasando cada uno de los conceptos que hemos nombrado anteriormente.

Triángulo Escaleno ABC 

ORTOCENTRO

Las tres alturas de un triángulo se intersecan en un punto llamado Ortocentro.

En un triángulo  ABC, las alturas son cada uno de los segmentos que parten del un vértice de un de sus ángulos y son perpendiculares a el lado contrario de cada ángulo.

*El ortocentro se encuentra: 

• Dentro del triángulo si éste es acutángulo.
• Coincide con el vértice del ángulo recto si es rectángulo.
• Fuera del triángulo si es obtusángulo.

Para hallar cada una de las alturas de nuestro triángulo sólo tendremos que trazar una perpendicular a cada uno de los lados que pase por su el vértice contrario respectivamente(Fig 1.).

Como en nuestro caso el triángulo es obtusángulo el ortocentro se halla fuera del triángulo(Fig 2.).

Fig 1.Ejemplo de como hallar la altura del lado CB

Fig 2. Ejemplo de cómo hallar el Ortocentro de un triángulo escaleno.

CIRCUNCENTRO

Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un punto común, el Circuncentro.

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. 

*Dependiendo del tipo de triángulo, el circuencentro se encontrará:

• Si el triángulo es rectángulo, el circuncentro está en el punto medio de la hipotenusa. 
• Si el triángulo es obtusángulo, está en el exterior del triángulo. 
• Si el triángulo es acutángulo, está en el interior del triángulo.

Para hallar el Circuncentro de nuestro triángulo sólo tendremos que hallar la mediatiz de cada uno de los lados del triángulo. 
El punto en el que se crucen, será el Circuencentro.

Fig 3. Ejemplo de cómo hallar la mediatriz del un lado AB.

Fig 4. Ejemplo de cómo hallar el Circuencentro en un triángulo escaleno.

BARICENTRO

Las tres medianas  de un triángulo se intersecan en un punto llamado Baricentro. 

Las medianas de un triángulo  ABC son cada uno de los tres segmentos que unen cada vértice con el punto medio de su lado opuesto(Fig 3.).

*Este punto siempre se encuentra en el interior del triángulo.

Fig.5. Cómo hallar la mediana del segmento CB

Para hallar cada una de las medianas de nuestro triángulo sólo tendremos que hallar la mediatiz de cada uno de los lados del triángulo y unir esos puntos medios con su vértice contrario (Fig.4.).

Fig.6. Cómo hallar el Baricentro de un triángulo escaleno.

Una vez hallados tanto el Ortocentro, como el Circuncentro y Baricentro de nuestro triángulo escaleno deberemos unir los tres puntos hallados (O,Cr y Br) que al unirse formarán la Recta de Euler.

Fig. 7 Recta de Euler de un triángulo escaleno.